Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович

Итальянская практика.

Странное названіе, чуждое нашимъ учебникамъ! Что же это за правило?

До XIX столѣтія оно обязательно было во всѣхъ ариѳметикахъ. Какъ показываетъ самое заглавіе, итальянская практика обязана своей разработкой итальянцамъ (главнымъ образомъ Тартальѣ), и ка-сается она пріемовъ, вызванныхъ практикой и приложимыхъ на практикѣ. Происхожденіе ея слѣдующее. Въ то время, какъ средневѣковая ариѳметика старалась изъ всѣхъ силъ напичкать ученика всевозможными готовыми правилами, по которымъ, какъ по шаблону, можно было рѣшать любой вопросъ, не затрудняя себя придумываніемъ способовъ, въ это время, въ противовѣсъ такому направленію, природная человѣческая смѣтливость, естественная пытливость и ничѣмъ неуничтожаемая потребность думать — искали себѣ выхода, находили его въ изобрѣтеніи оригинальныхъ пріемовъ, которые болѣе соотвѣтствовали характеру каждаго вопроса, облегчали и упрощали его. Такимъ образомъ, итальянская практика — это собраніе искусственныхъ пріемовъ, отчасти письменныхъ, иногда устныхъ, нерѣдко простонародныхъ, которые здравымъ человѣческимъ разсудкомъ противопоставляются заученнымъ формуламъ сухой науки. Склонность къ такимъ пріемамъ живетъ во всякомъ народѣ, и итальянцы нѣсколько опередили остальныхъ только потому, что ихъ роль коммерсантовъ и посредниковъ скорѣе дала выходъ природнымъ задаткамъ.

Тарталья различаетъ простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой рѣшаются вопросы не особенно сложные, которые относятся главн. обр. къ простому тройному правилу. Первый примѣръ: 8 килограммовъ саго стоятъ 3,80 марокъ., что стоятъ 12 килограммовъ саго? Для рѣшенія мы сперва высчитаемъ стоимость 4 килограммовъ, а для этого достаточно 3,80 марокъ раздѣлить пополамъ, потому что 4 килограмма составляютъ половину 8, и слѣд., цѣна ихъ составляетъ половину 3,80 марокъ, затѣмъ складываеиъ стоимость 8-ми килогр. и 4-хъ и получаемъ искомую цѣну 12-ти:

Приведемъ еще примѣръ, въ которомъ удобнѣе не складывать, а вычитать: 15 арш. матеріи стоятъ 16,80 рублей, что стоятъ 10 аршинъ матеріи?

Искусственная итальянская практика состоитъ въ слѣдующемъ. Если въ задачѣ встрѣчается какой-нибудь сложный множитель, то разбиваютъ его на слагаемыя и эти слагаемыя подбираютъ такъ, чтобы самое большое являлось кратнымъ остальныхъ, или вообще одно слагаемое содержало въ себѣ другое; когда намъ удалось такъ разложить, то мы умножимъ данное число на большее слагаемое, а всѣ остальныя произведенія получимъ дѣленіемъ и именно воспользуемся свойствомъ, что во сколько разъ меныне множитель, во столь-ко же разъ меныпе и произведеніе. Примѣръ: сколько прибыли получится съ 9000 руб. по 4% за 1 годъ 2 м. 24 д? Въ этомъ случаѣ вычисляемъ сперва прибыль за 1 годъ, потомъ за 1/6 года, т.-е. за 2 мѣсяца, для этого дѣлимъ годовую прибыль на 6, потомъ вычисляемъ за 20 дней — они составляютъ ⅓ двухъ мѣсяцевъ, потомъ за 4 дня, т.-е. за 1/5 двадцати дней; въ концѣ всѣ полученныя прибыли складываемъ. Тарталья даетъ подобнымъ задачамъ такое расположеніе:

Еще примѣръ: найти прибыль съ 6000 р. по 4% за 1 г. 7 м. 9 дней.

Изъ этихъ примѣровъ можно понять, чѣмъ отличается итальянская практика отъ тройного правила: въ тройномъ правилѣ идетъ приведеніе къ единицѣ или, точнѣе сказать, къ простой единицѣ, здѣсь же вопросъ приводится къ сложной единицѣ, т. е. къ группѣ единицъ. Это виднѣе на такомъ примѣрѣ: 22 фунта стоятъ 10 руб., сколько стоятъ 33 ф.? По итальянской практикѣ не надо приводить этого вопроса къ 1 фунту, а удобнѣе привести прямо къ кратной части всего количества, къ 11 фун.; получимъ ихъ стоимость=5 р.; а потомъ остается 5 руб. повторить 3 раза.

Въ послѣднее время задачи на приведеніе къ кратной части и на сложеніе кратныхъ частей стали встрѣчаться въ нѣкоторыхъ задачникахъ, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такіе вопросы развиваютъ сообразительность, даютъ просторъ выбору и обсужденію способовъ и вообще соотвѣтствуютъ истинной цѣли ариѳметики, какъ общеобразовательнаго учебнаго предмета, имѣющаго ввиду развить умъ, а не только снабдить ученика навыками счета.

Фальшивое правило.

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней мѣрѣ, у Магницкаго особая 4-я часть его ариѳметики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли дѣйствія надъ цѣлыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й помѣщено тройное правило и въ 5-й и послѣдней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:

«фальшивая правила, сирѣчь не истинная положенія, зане чрезъ два не истинная положенія изобрѣтаетъ самое оно желаемое истинное число».

 Объяснимъ это правило на общеязвѣстной задачѣ о гусяхъ, кстати она и помѣщена въ ариѳметикѣ Румовскаго (1760 г.), какъ примѣръ фальшиваго правила. Задача такая:

«летѣло стадо гусей, на встрѣчу имъ летитъ одинъ гусь и говоритъ: здравствуйте, сто гусей, а тѣ ему отвѣчаютъ: нѣтъ, насъ не сто гусей, а если бы насъ было еще столько, сколько есть, да еще полъ-столька, да четверть-столька, да еще ты одинъ гусь съ нами, тогда насъ было бы ровно сто гусей. Сколько ихъ было?»

Рѣшеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слѣдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слѣдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

   X

44 33

вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздѣлить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, вѣрный отвѣтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затѣмъ высчитать погрѣшность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погрѣшность; тогда

Способъ фальшиваго правила былъ извѣстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вѣроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослѣдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ всѣ арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слѣдующій примѣръ: «найти такое число, что если отнять отъ него ⅓ и ¼ его, то въ остаткѣ будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмѣсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формулѣ рѣшенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правилѣ, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задачѣ одинъ отвѣтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 191/5. О фальшивомъ правилѣ много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извѣстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затѣйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нѣціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чѣмъ погрѣшается».